明史

　　卷三十三 ‧ 志第九　 曆三

---

大統曆法一下法原

太陽盈縮平立定三差之原

冬至前後盈初縮末限，八十八日九十一刻，就整。離為六段，每段各得一十四日八十二刻。就整。各段實測日躔度數，與平行相較，以為積差。

　　　　積日　　　　　積差
第一段　一十四日八二　七千○五十八分○二五
第二段　二十九日六四　一萬二千九百七十六三九二
第三段　四十四日四六　一萬七千六百九十三七四六二
第四段　五十九日二八　二萬一千一百四十八七三二八
第五段　七十四日一○　二萬三千二百七十九九九七
第六段　八十八日九二　二萬四千○二十六一八四

各置其段積差，以其段積日除之，為各段日平差。　置各段日平差，與後段日平差相減，為一差。　置一差，與後段一差相減，為二差。

　　　　日平差　　　　　　一差　　　　　二差
第一段　四百七十六分二五　三十八分四五　一分三八
第二段　四百三十七分八○　三十九分八三　一分三八
第三段　三百九十七分九七　四十一分二一　一分三八
第四段　三百五十六分七六　四十二分五九　一分三八
第五段　三百一十四分一七　四十三分九七　
第六段　二百七十○分二○

置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，為汎平積。　以第二段二差一分三十八秒，去減第一段一差三十八分四十五秒，餘三十七分○七秒，為汎平積差。　另置第一段二差一分三十八秒，折半得六十九秒，為汎立積差。　以汎平積差三十七分○七秒，加入汎平積四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，為定差。　以汎立積差六十九秒，去減汎平積差三十七分○七秒，餘三十六分三十八秒為實，以段日一十四日八十二刻為法除之，得二分四十六秒為平差。　置汎立積差六十九秒為實，以段日為法除二次，得三十一微，為立差。

夏至前後縮初盈末限，九十三日七十一刻，就整。離為六段，每段各得一十五日六十二刻。就整。各段實測日躔度數，與平行相較，以為積差。

　　　　積日　　　　　積差
第一段　一十五日六二　七千○五十八分九九○四
第二段　三十一日二四　一萬二千九百七十八六五八
第三段　四十六日八六　一萬七千六百九十六六七九
第四段　六十二日四八　二萬一千一百五十○七二九六
第五段　七十八日一○　二萬三千二百七十八四八六
第六段　九十三日七二　二萬四千○百一十七六二四四

推日平差、一差、二差術，與盈初縮末同。

　　　　日平差　　　　　　一差　　　　　二差
第一段　四百五十一分九二　三十六分四七　一分三三
第二段　四百一十五分四五　三十七分八○　一分三三
第三段　三百七十七分六五　三十九分一二　一分三三
第四段　三百三十八分五二　四十○分四六　一分三三
第五段　二百九十八分○六　四十一分七九　
第六段　二百五十六分二七

置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，為汎平積。　以第一段二差一分三十三秒，去減第一段一差三十六分四十七秒，餘三十五分一十四秒，為汎平積差。　另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，為汎立積差。　以汎平積差三十五分一十四秒，加入汎平積四百五十一分九十二秒，共四百八十七分○六秒，為定差。　以汎立積差六十六秒五十微，去減汎平差三十五分一十四秒，餘三十四分四十七秒五十微為實，以段日一十五日六二為法除之，得二分二十一秒，為平差。　置汎立積差六十六秒五十微為實，以段日為法，除二次，得二十七微，為立差。

凡求盈縮，以入曆初末日乘立差，得數以加平差，再以初末日乘之，得數以減定差，餘數以初末日乘之，為盈縮積。

凡盈曆以八十八日九○九二二五為限，縮曆以九十三日七一二○二五為限。在其限已下為初，以上轉減半歲周餘為末。盈初是從冬至後順推，縮末是從冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈積同。縮初是從夏至後順推，盈末是從夏至前逆溯，其距夏至同，故其縮積同。

盈縮招差圖圖闕

盈縮招差圖說

盈縮招差，本為一象限之法。如盈曆則以八十八日九十一刻為象限，縮曆則以九十三日七十一刻為象限。今止作九限者，舉此為例也。其空格九行定差本數，為實也。其斜線以上平差立差之數，為法也。斜線以下空格之定差，乃餘實也。假如定差為一萬，平差為一百，立差為單一。今求九限法，以九限乘定差得九萬為實。另置平差，以九限乘二次，得八千一百。置立差，以九限乘三次，得七百二十九。幷兩數得八千八百二十九為法。以法減實，餘八萬一千一百七十一，為九限積。又法，以九限乘平差得九百，又以九限乘立差二次得八十一，幷兩數得九百八十一為法，定差一萬為實，以法減實，餘九千零一十九，即九限末位所書之定差也。於是再以九限乘餘實，得八萬一千一百七十一，為九限積，與前所得同。蓋前法是先乘後減，又法是先減後乘，其理一也。

　　按授時曆於七政盈縮，並以垛積招差立算，其法巧合天行，與西人用小輪推步之法，殊途同歸。然世所傳九章諸書，不載其術，曆草載其術，而不言其故。宣城梅文鼎為之圖解，於平差、立差之理，垛積之法，皆有以發明其所以然。有專書行於世，不能備錄，謹錄招差圖說，以明立法之大意云。

凡布立成

盈初縮末　置立差三十一微，以六因之，得一秒八十六微，為加分立差。置平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十三秒八十六微，為平立合差。　置定差五百一十三分三十二秒，內減平差二分四十六秒，再減立差三十一微，餘五百一十○分八十五秒六十九微，為加分。

縮初盈末　置立差二十七微，以六因之，得一秒六十二微，為加分立差。置平差二分二十一秒，倍之，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，為平立合差。　置定差四百八十七分○六秒，內減平差二分二十一秒，再減立差二十七微，餘四百八十四分八十四秒七十三微，為加分。

已上所推，皆初日之數。其推次日，皆以加分立差，累加平立合差，為次日平立合差。以平立合差減其日加分，為次日加分。盈縮並同。其加分累積之，即盈縮積，其數並見立成。

太陰遲疾平立定三差之原

太陰轉周二十七日五十五刻四六，測分四象，象各七段，四象二十八段，每段十二限，每象八十四限，凡三百三十六限，而四象一周。以四象為法，除轉周日，得每象六日八八八六五，分為七段，每段下實測月行遲疾之數，與平行相較，以求積差。

　　　　積限　　積差
第一段　一十二　一度二十八分七一二
第二段　二十四　二度四十五分九六一六
第三段　三十六　三度四十八分三七九二
第四段　四十八　四度三十二分五九五二
第五段　六十　　四度九十五分二四
第六段　七十二　五度三十二分九四四
第七段　八十四　五度四十二分三三七六

各置其段積差，以其段積限為法除之，為各段限平差。　置各段限平差，與後段相減為一差。　置一差，與後段一差相減為二差。

　　　　限平差　　　　　　一差　　　　　二差
第一段　一十○分七二六○　四十七秒七六　九秒三六
第二段　一十○分二四八四　五十七秒一二　九秒三六
第三段　九分六七七二　　　六十六秒四八　九秒三六
第四段　九分○一二四　　　七十五秒八四　九秒三六
第五段　八分二五四○　　　八十五秒二○　九秒三六
第六段　七分四○二○　　　九十四秒五六　
第七段　六分四五六四

置第一段限平差一十○分七二六為汎平積。　置第一段一差四十七秒七六，以第一段二差九秒三六減之，餘三十八秒四十微，為汎平積差。　另置第一段二差九秒三十六微折半，得四秒六十八微，為汎立積差。　以汎平積差三十八秒四十微，加汎平積一十○分七二六，得一十一分一十一秒。為定差。　置汎平積差三十八秒四十微，以汎立積差四秒六十八微減之，餘三十三秒七十二微為實，以十二限為法除之，得二秒八十一微，為平差。　置汎立積差四秒六十八微為實，十二限為法，除二次，得三微二十五纖，為立差。

凡求遲疾，皆以入曆日乘十二限二十分，以在八十四限已下為初，已上轉減一百六十八限餘為末。各以初末限乘立差，得數以加平差，再以初末限乘之，得數以減定差，餘以初末限乘之，為遲疾積。　其初限是從最遲最疾處順推至後，末限是從最遲最疾處逆溯至前，其距最遲疾處同，故其積度同。太陰與太陽立法同，但太陽以定氣立限，故盈縮異數。太陰以平行立限，故遲疾同原。

布立成法　置立差三微二十五纖，以六因之，得一十九微五十纖，為損益立差。　置平差二秒八十一微，倍之，得五秒六十二微，再加損益立差一十九微五十纖，共得五秒八十一微，為初限平立合差。自此以損益立差，累加之，即每限平立合差。至八十限下，積至二十一秒四一五，為平立合差之極。八十一限下差一秒七八○九，八十二限下一秒七八○八，至八十三限下，平立合差，與益分中分，為益分之終。八十四限下差，亦與損分中分，為損分之始。至八十六限下差，亦二十一秒四一五，自此以損益立差累減之，即每限平立合差，至末限與初限同。　置定差一十一分一十一秒，內減平差二秒八十一微，再減立差三微二十五纖，餘一十一分○八秒一十五微七十五纖，為加分定差，即初限損益分。　置損益分，以其限平立合差益減損加之，即為次限損益分。　以益分積之，損分減之，便為其下遲疾度。　以八百二十分為一限日率，累加八百二十分為每限日率。以上俱詳立成。

五星平立定三差之原

凡五星各以實測，分其行度為八段，以求積差，略如日月法。

木星立差加，平差減。

　　　　積日　　　　　　積差
第一段　一十一日五十刻　一度二一五二九七一一五
第二段　二十三日　　　　二度三四○五二一四
第三段　三十四日五十刻　三度三五四一三七二六五
第四段　四十六日　　　　四度二三四六○九一二
第五段　五十七日五十刻　四度九六○四○一三七五
第六段　六十九日　　　　五度五○九九七八四四
第七段　八十○日五十刻　五度八六一八○四七二五
第八段　九十二日　　　　五度九九四三四四六四

　　　　汎平差　　　　　　　汎平較　　　　　　汎立較
第一段　一十分五六七八○一　三十九秒一六二一　六秒二四二二
第二段　一十分一七六一八　　四十五秒四○四三　六秒二四二二
第三段　九分七二二一三七　　五十一秒六四六五　六秒二四二二
第四段　九分二○五六七二　　五十七秒八八八七　六秒二四二二
第五段　八分六二六七八五　　六十四秒一三○九　六秒二四二二
第六段　七分九八五四七六　　七十○秒三七二一　六秒二四二二
第七段　七分二八一七四五　　七十六秒六一五三　
第八段　六分五一五五九二

各置其段所測積差度分為實，以段日為法除之，為汎平差。各以汎平差與次段汎平差相較，為汎平較。　又以汎平較與次段汎平較相較，為汎立較。　置第一段汎平較三十九秒一六二一，減其下汎立較六秒二四二二，餘三十二秒九一九九，為初段平立較。加初段汎平差一十分五六七八○一，共得一十○分八十九秒七十○微，為定差。秒置萬位。　置初段平立較差三十二秒九一九九，內減汎立較之半，三秒一二一一，餘二十九秒七九八八，以段日一十一日五十刻除之，得二秒五十九微一十二纖，為平差。　置汎立差之半，三秒一二一一，以段日為法除二次，得二微三十六纖，為立差。

已上為木星平立定三差之原。

火星盈初縮末。立差減，平差減。

　　　　積日
第一段　七日六十二刻五十分
第二段　一十五日二十五刻
第三段　二十二日八十七刻五十分
第四段　三十○日五十○刻
第五段　三十八日一十二刻五十分
第六段　四十五日七十五刻
第七段　五十三日三十七刻五十分
第八段　六十一日

　　　　積差
第一段　六度二六八二五一二二八一八五五九三七五
第二段　一十一度六○○一七五七四三五九三七五
第三段　一十六度○二五九六三七九二五一九五三一二五
第四段　一十九度六六九○一三六二一二五
第五段　二十二度二七九八九一四七六○七四二一八七五
第六段　二十四度一六八二二八六○三二八一二五
第七段　二十五度三三一五五六二四九二六○一五六二五
第八段　二十五度六一九五一五六六

　　　　汎平差
第一段　八十二分○六五七三四八四三七五
第二段　七十六分○六六七二六一六七五
第三段　七十○分○五八八五八一○九三七五
第四段　六十四分一八二九六九二五
第五段　五十八分四三九○五九六○九三七五
第六段　五十二分八二七一二九一八七五
第七段　四十七分三四七一七七九八四三七五
第八段　四十一分九九九二○六

　　　　汎平較
第一段　六分一三九八四七二九六八七五
第二段　六分○○七八六八○七八一二五
第三段　五分八七五八八八八五九三七五
第四段　五分七四三九○九六四○六二五
第五段　五分六一一九三○四二一八七五
第六段　五分四七九九五一二○三一二五
第七段　五分三四七九七一九八四三七五

　　　　汎立較
第一段　一十三秒一九七九二一八七五
第二段　一十三秒一九七九二一八七五
第三段　一十三秒一九七九二一八七五
第四段　一十三秒一九七九二一八七五
第五段　一十三秒一九七九二一八七五
第六段　一十三秒一九七九二一八七五

汎平較前多後少，應加汎立較。　置初段下汎平較六分一三九八四七二九六八七五，加汎立較一十三秒一九七九二一八七五，得六分二七一八二六五一五六二五，為初日下平立較。　置初段汎平差八十二分二十○秒六五七三四八四三七五，加初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，得八十八分四十七秒八十四微，為定差。　置初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，加汎立較之半，六秒五九八九六○九三七五，得六分三三七八一六一二五為實，以段日而一，得八十三秒一十一微八十九纖，為平差。　置汎立較之半，六秒五九八九六○九三七五，以段日七日六十二刻五十分為法除二次，得一十一微三十五纖為立差。

火星縮初盈末平差負減，立差減。

　　　　積日
第一段　一十五日二十五刻
第二段　三十○日五十刻
第三段　四十五日七十五刻
第四段　六十一日
第五段　七十六日二十五刻
第六段　九十一日五十刻
第七段　一百○六日七十五刻
第八段　一百二十二日

　　　　積差
第一段　四度五三一二五一八五七九六八七五
第二段　九度一○二九六一四五一二五
第三段　一十三度五三一六七○九○一七七三七五
第四段　一十七度四七八九七九○四
第五段　二十○度八四三六六三○六六四○六二五
第六段　二十三度四三一三三六二四一二五
第七段　二十五度○九二四三五二八三四六八七五
第八段　二十五度六一八三七四七二

　　　　汎平差
第一段　二十九分七一三一二六九三七五
第二段　二十九分八四五七七五二五
第三段　二十九分五七八三五五○六二五
第四段　二十八分六五四○六四
第五段　二十七分三三三九五一五六二五
第六段　二十五分六一八○一七七五
第七段　二十三分五○六二六二五六二五
第八段　二十○分九九八六八六

　　　　汎平較　　　　　　　　　　汎立較
第一段　一十三秒二六四八三一二五　一十三秒五七六九七七五
第二段　二十六秒八四一八○八七五　六十五秒五八七二九七五
第三段　九十二秒四二九一○六二五　三十九秒五八二一三七五
第四段　一分三二○一一二四三七五　二十九秒五八二一三七五
第五段　一分七一五九三三八一二五　三十九秒五八二一三七五
第六段　二分一一一七五五一八七五　三十九秒五八二一三七五
第七段　二分五○七五七六五六二五

取汎立較均停者，三十九秒五八二一三七五，以較一段下汎平較一十三秒二六四八三一二五，餘二十六秒三一七三○六二五為較較，以加一段下汎平差二十九分七一三一二六九三七五，得二十九分九十七秒六十三微，為定差。　置較較二十六秒三一七三○六二五，以段日一十五日二十五刻而一，得一秒七二五七二五。再置汎立較之半一十九秒七九一○六八七五，以段日而一，得一秒二九七七七五。兩數並得三秒○二微三十五纖，為平差。　置汎立較之半一十九秒七九一○六八七五，以段日一十五日二五為法除二次，得八微五十一纖，為立差。

已上為火星平立定三差之原。

土星盈曆立差加，平差減。

　　　　積日　　　　　　　積差
第一段　一十一日五十刻　　一度六八三二四五八二八七五
第二段　二十三日　　　　　三度二三二一六四○一
第三段　三十四日五十刻　　四度六二○九三○○八六二五
第四段　四十六日　　　　　五度八二三七一九六
第五段　五十七日五十刻　　六度八一四七○八六六八七五
第六段　六十九日　　　　　七度五六八○七一一一
第七段　八十○日五十刻　　八度○五七九八四一九一二五
第八段　九十二日　　　　　八度二五八六二二八八

　　　　汎平差　　　　　　　　　　汎平較　　　　　　　　　汎立較
第一段　一十四分六三六九二○二五　五十八秒四○三三二五　七秒四八五三五
第二段　一十四分○五二八八七　　　六十五秒八八八六七五　七秒四八五三五
第三段　一十三分三九四○○○二五　七十三秒三七四○二五　七秒四八五三五
第四段　一十二分六六○二六　　　　八十○秒八五九三七五　七秒四八五三五
第五段　一十一分八五一六六六二五　八十八秒三四四七二五　七秒四八五三五
第六段　一十一分九六八二一九　　　九十五秒八三○○七五　七秒四八五三五
第七段　一十○分○○九九一八二五　一分○三秒三一五四二五　
第八段　八分九七六七六四

置第一段下汎平較，內減其下汎立較，餘五十○秒九一七九七五，為平立較。　以平立較，加本段汎平差，得一十五分一十四秒六十一微，為定差。　置平立較，內減汎立較之半，三秒七四二六七五，餘四十七秒一七五三，以段日十一日五十刻而一，得四秒一十○微二十二纖，為平差。　置汎立較之半，以段日除二次，得二微八十三纖，為立差。

土星縮曆立差加，平差減。

　　　　積日　　　　　　積差
第一段　一十一日五十刻　一度二四一九七四二六八七五
第二段　二十三日　　　　二度四一三七三五六九
第三段　三十四日五十刻　三度四八五○七九六八六二五
第四段　四十六日　　　　四度四二五八○一六八
第五段　五十七日五十刻　五度二○五六九七○九三七五
第六段　六十九日　　　　五度七九四五六一三五
第七段　八十○日五十刻　六度一六二四一一○○四七五
第八段　九十二日　　　　六度二七八三七八○八

　　　　汎平差　　　　　　　　　汎平較　　　　　　　　汎立較
第一段　一十分七九九七七六二五　三十○秒五二七三二五　八秒七五四九五
第二段　一十分四九四五○三　　　三十九秒二八二二七五　八秒七五四九五
第三段　一十分一○一六八○二五　四十八秒○三七二二五　八秒七五四九五
第四段　九分六二一三○八　　　　五十六秒七九二一七五　八秒七五四九五
第五段　九分○五三三八六二五　　六十五秒五四七一二五　八秒七五四九五
第六段　八分三九七九一五　　　　七十四秒三○三○七五　八秒七五四九五
第七段　七分六五四八九四二五　　八十三秒○五七○七五　
第八段　六分八二四三二四

置一段汎平較，內減其下汎立較，餘二十一秒七七二三七五，為平立較。以平立較加入本段汎平差，得一十一分○一秒七十五微，為定差。　置平立較，內減汎立較之半，四秒三七七四七五，餘一十七秒三九四九，以段日一十一日五十刻為法除之，得一秒五十一微二十六纖，為平差。　置汎立較之半，以段日為法除二次，得三微三十一纖，為立差。

已上為土星平立定三差之原。

金星立差加，平差減。

　　　　積日　　　　　　積差
第一段　一十一日五十刻　空度四○二一三四○九八七五
第二段　二十三日　　　　空度七九一三九三六六
第三段　三十四日五十刻　一度一五四九一二○八一二五
第四段　四十六日　　　　一度七四九八二二七六
第五段　五十七日五十刻　一度七五三二五九○九三七五
第六段　六十九日　　　　一度九六二三五四四八
第七段　八十○日五十刻　二度○九四二四二三一六二五
第八段　九十二日　　　　二度一三六○五六

　　　　汎平差　　　　　　　　汎平較　　　　　　　　汎立較
第一段　三分四九六八一八二五　五秒五九七六二五　　　三秒七二九四五
第二段　三分四四○八四二○○　九秒三二七○七五　　　三秒七二九四五
第三段　三分三四七五七一二五　一十三秒○六五五二五　三秒七二九四五
第四段　三分二一七○○六　　　一十六秒七八五九七五　三秒七二九四五
第五段　三分○四九一四六二五　二十○秒五一五四二五　三秒七二九四五
第六段　二分八四三九九二　　　二十四秒二四四八七五　三秒七二九四五
第七段　二分六○一五四三二五　二十七秒九七四三二五　
第八段　二分三二一八

置一段下汎平較，與其汎立較相減，餘一秒八六八一七五為平立較，以加汎平差，得三分五十一秒五十五微，為定差。　置平立較，與汎立較之半，一秒八六四七二五相減，餘三十四纖，以段日一十一日五十刻為法除之，得三纖，為平差。　置汎立較之半，以段日為法除二次，得一微四十一纖，為立差。

已上為金星平立定三差之原。

水星立差加，平差減。

　　　　積日　　　　　　積差
第一段　一十一日五十刻　空度四四○八四七三五三七五
第二段　二十三日　　　　空度八六三一○一六八
第三段　三十四日五十刻　一度二五三八九六三七六二五
第四段　四十六日　　　　一度六○○三六四八四
第五段　五十七日五十刻　一度八八九六三一○四三七五
第六段　六十九日　　　　二度一○八八五六六六
第七段　八十○日五十刻　二度二四五二九二一一三七五
第八段　九十二日　　　　二度二八五六四四三二

　　　　汎平差　　　　　　　　汎平較　　　　　　　　汎立較
第一段　三分八三三四五五二五　八秒○八三九二五　　　三秒七二九四五
第二段　三分七五二六一六　　　一十一秒八一三三七五　三秒七二九四五
第三段　三分六三四四八二二五　一十五秒五四二八二五　三秒七二九四五
第四段　三分四七九○五四　　　一十九秒二七二二七五　三秒七二九四五
第五段　三分二八六三三一二五　二十三秒○○一七二五　三秒七二九四五
第六段　三分○五六三一四　　　二十六秒七三二一七五　三秒七二九四五
第七段　二分七八九○○二二五　三十○秒四六○六二五
第八段　二分四八四三九六

術同金星，求得定差三分八十七秒九十微，平差二十一微六十五纖，立差一微四十一纖。

已上為水星平立定三差之原。

右五星，皆以立差為秒，平差為本，定差為總。五星各以段次因秒，木土金水四星併本，惟火星較本，各以積日而積，五星皆較總，又各以積日乘之，得各實測之度分。

五星積日，皆以度率，除周日得三百六十五度二十五分太。各以四分之一為象限，惟火星用象限三之一，減象限為盈初縮末限，加象限為縮初盈末限。其命度為日者，為各取盈縮曆乘除之便，其實積日之數，即積度也。

里差刻漏

求二至差股及出入差。　術曰：置所測北極出地四十度九十五分為半弧背，以前割圓弧矢法，推得出地半弧弦三十九度二十六分，為大三斜中股。　置測到二至黃赤道內外度二十三度九十分為半弧背，以前法推得內外半弧弦二十三度七十一分。又為黃赤道大句，又為小三斜弦。　置內外半弧弦自之為句冪，半徑自之為弦冪，二冪相減，開方得股，以股轉減半徑，餘四度八十一分為二至出入矢，即黃赤道內外矢。　夏至日，南至地平七十四度二十六分半為半弧背，求得日下至地半弧弦五十八度四十五分。　半徑六十○度八十七分半，為大三斜中弦。　置大三斜中股三十九度二十六分，以二至內外半弧弦二十三度七十一分乘之為實，以半徑六十○度八十七分半為法除之，得一十五度二十九分，為小三斜中股。又為小股。　置小三斜中股一十五度二十九分，去減日下至地半弧弦五十八度四十五分，餘四十三度一十六分，為大股。　以出入矢四度八十一分，去減半徑六十○度八十七分半，餘五十六度○六分半，為大股弦。　置大股弦，以小股一十五度二九乘之為實，大股四十三度一六為法除之，得一十九度八十七分為小弦，即為二至出入差半弧弦。　置二至出入差半弧弦，依法求到二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒。　置二至出入差半弧背一十九度九六一四，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分除之，得八十四分一十九秒，為度差分。

求黃道每度晝夜刻。　術曰：置所求每度黃赤道內外半弧弦，以二至出入差半弧背乘之為實，二至黃赤道內外半弧弦為法除之，為每度出入差半弧背。又術：置黃赤道內外半弧弦，以度差八十四分一十九秒乘之，亦得出入差半弧背。　置半徑內減黃赤道內外矢，即赤道二弦差，見前條立成。餘數倍之，又三因之，得數加一度，為日行百刻度。又術：以黃赤道內外矢倍之，以減全徑餘數，三因加一度，為日行百刻度，亦同。　置每度出入半弧背，以百刻乘之為實，日行百刻度為法除之，得數為出入差刻。　置二十五刻，以出入差刻視黃道，在赤道內加之，在赤道外減之，得數為半晝刻，倍之為晝刻，以減百刻，為夜刻。

如求冬至後四十四度晝夜刻。　術曰：置冬至後四十四度黃赤道內外半弧弦一十七度二十五分六十九秒，又為黃赤道小弧弦，前立成中取之。以二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒乘之為實，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分為法除之，得一十四度五十二分八十五秒，為出入半弧背。又法：置黃赤道內外半弧弦一十七度二五六九，以度差○度八四一九乘之，亦得一十四度五二八五，為出入半弧背。　置半徑六十○度八七五，以四十四度黃赤道內外矢二度五十一分八十一秒又為赤道二弦差，前立成中取之。減之，餘五十八度三十五分六十九秒，即赤道小弦。倍之，得一百一十六度七十一分三十八秒，三因之，加一度，得三百五十一度一十四分一十四秒，為日行百刻度。又術：倍黃赤道內外矢得五度○三分六十二秒，以減全徑一百二十一度七十五分，亦得一百一十六度七十一分三十八秒，三因加一度，為日行百刻度，亦同。　置出入半弧背一十四度五十二分八十五秒，以百刻乘之為實，以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒為法除之，得四刻一十三分七十五秒，為出入差刻。　置二十五刻，以出入差刻四刻一十三分七十五秒減之，因冬至後四十四度，黃道在赤道外，故減。餘二十○刻八十六分二十五秒，為半晝刻。倍之得四十一刻七十二分半，為晝刻。以晝刻減百刻，餘五十八刻二十七分半，為夜刻。又術：置出入差刻四刻一十三分七十五秒，倍之，得八刻二十七分半，以減春秋分晝夜五十刻，得四十一刻七十二分半，為晝刻。以倍刻加五十刻，得五十八刻二十七分半，為夜刻。晝減故夜加，餘倣此。

黃道每度晝夜刻立成

黃道積度	出入半弧背	日行百刻度	出入差刻分	冬至前後晝 夏至前後夜	冬至前後夜 夏至前後晝
十度十分	十度十分十秒	百十度十分十秒	刻十分十秒	十刻十分十秒	十刻十分十秒
初	一九九六一四	三三七一六○八	五九二○四	三八一五九二	六一八四○八
一	九五八七	一六八六	九一九五	一六一○	八三九○
二	九五○六	一九三八	九一六六	一六六八	八三三二
三	九三七二	二三四六	九一一九	一七六二	八二三八
四	九一八三	二九二二	九○五三	一八九四	八一○六
五	八九四○	三六六○	八九六八	二○六四	七九三六
六	八六四二	四五五四	八八六四	二二七二	七七二八
七	八二九一	五六一六	八七四二	二五一六	七四八四
八	七八八四	六八四○	八六○○	二八○○	七二○○
九	七四二二	八二二六	八四三九	三一二二	六八七八
一○	六九○六	九七八○	八二六○	三四八○	六五二○
一一	六三三三	三三八一四九○	八○六一	三八七八	六一二二
一二	五七○五	三三五六	七八四三	四三一四	五六八六
一三	五○二一	五三七八	七六○六	四七八八	五二一二
一四	四二八○	七五六八	七三五○	五三○○	四七○○
一五	三四八三	九九二○	七○七六	五八四八	四一五二
一六	二六二八	三三九二四○○	六七八二	六四三六	三五六四
一七	一七一八	五○六八	六四六八	七○六四	二九三六
一八	○七四九	七八六四	六一三八	七七二四	二二七六
一九	一八九七二三	三四○○八一○	五七八七	八四二六	一五七四
二○	八六三八	三九一二	五四一八	九一六四	○八三六
二一	七四九六	七一五二	五○三○	九九四○	○○六○
二二	六二九四	三四一○五三六	四六二三	三九○七五四	六○九二四六
二三	五○三四	四○五二	四一九七	一六○六	八三九四
二四	三七一六	七七一二	三七五四	二四九二	七五○八
二五	二三三九	三四二一四九二	三二九二	三四一六	六五八四
二六	○九○三	五四○四	二八一二	四三七六	五六二四
二七	一七九四○八	九四三六	二三一四	五三七二	四六二八
二八	七八五四	三四三三五九四	一七九八	六四○四	三五九六
二九	六二四二	七九八○	一二六三	七四七四	二五二六
三○	四五七二	三四四二二三四	○七一四	八五七二	一四二八
三一	二八四二	六七一六	○一七四	九七○六	○二九四
三二	一○五五	三四五一二九四	四九五六二	四○○八七六	五九九一二四
三三	一六九二一○	五九五六	八九六一	二○七八	七九二二
三四	七三○九	三四六○七○八	八三四五	三三一○	六六九○
三五	五三五○	五五三八	七七一二	四五七六	五四二四
三六	三三三五	三四七○四四○	七○六四	五八七二	四一二八
三七	二二六四	五四一四	六四○一	七一九八	二八○二
三八	一五九一三九	三四八○四四二	五七二三	八五五四	一四四六
三九	六九五九	五五一八	五○三一	九九三八	○○六二
四○	四七二六	三四九○六四二	四三二六	四一一三四八	五八八六五二
四一	二四四二	五八○二	三六○七	二七八六	七二一四
四二	○一○七	三五○○九八六	二八七五	四二五○	五七五○
四三	一四七七二○	六一九四	二一三一	五七三八	四二六二
四四	五二八五	三五一一四一四	一三七五	七二五○	二七五○
四五	二八○三	六六四○	○六○七	八七八六	一二一四
四六	○二七四	三五二一八六六	三九八二九	四二○三四二	五七九六五八
四七	一三七七○○	七○八○	九○四○	一九二○	八○八○
四八	五○八二	三五三二二七○	八二四○	三五一六	六四八四
四九	二四二一	七四四二	七四三四	五一三二	四八六八
五○	一二九七二○	三五四二五七八	六六一七	六七六六	三二三四
五一	六九七七	七六七二	五七九一	八四一八	一五八二
五二	四一九九	三五五二七一八	四九五九	四三○○八二	五六九九一八
五三	一三八八	七七一○	四一一九	一七六二	八二三八
五四	一一八五三九	三五六二六三六	三二七三	三四五四	六五四六
五五	五六五七	七五○二	二四一九	五一六二	四八三八
五六	二七四三	三五七二二八四	一五六○	六八八○	三一二○
五七	一○九八○○	六九九四	○六九六	八六○八	一三九二
五八	六八二八	三五八一六○二	二九八二七	四四○三四六	五五九六五四
五九	三八二九	六一三二	八九五二	二○九六	七九○四
六○	○八○五	三五九○五六○	八○七四	三八五二	六一四八
六一	九七七五八	四八八六	七一九三	五六一四	四三八六
六二	四六八九	九一○四	六三○九	七三八二	二六一八
六三	一五九七	三六○三二○八	五四二○	九一六○	○八四○
六四	八八四八七	七一九二	四五三○	四五○九四○	五四九○六○
六五	五三六○	三六一一○○八	三六三八	二七二四	七二七六
六六	二二一五	四八一二	二七四四	四五一二	五四八八
六七	七九○五四	八四二四	一八四七	六三○六	三六九四
六八	五八八二	三六二一九○四	○九五○	八一○○	一九○○
六九	二六九五	五二六四	○○五二	九八九六	○一○四
七○	六九四九四	八四八六	一九一五一	四六一六九六	五三八三○四
七一	六二八五	三六三一五七○	八二五二	三四九六	六五○四
七二	三○六五	四五一六	七三五一	五二九八	四七○二
七三	五九八三七	七三一八	六四五○	七一○○	二九○○
七四	六六○○	九九八二	五五四九	八九○二	一○九八
七五	三三五七	三六四二四九六	四六四八	四七○七○四	五二九二九六
七六	○一○八	四八七○	三七四七	二五○六	七四九四
七七	四六八五四	七○八六	八四六	四三○八	五六九二
七八	三五九四	九一五六	一九四六	六一○八	三八九二
七九	○三三一	三六五一○八二	一○四六	七九○八	二○九二
八○	三七○六四	二八六四	一四六	九七○八	○二九二
八一	三七九四	四四九○	○九二四六	四八一五○八	五一八四九二
八二	○五七八	五九六六	八三四六	三三○八	六六九二
八三	二七二四九	七二九二	四四九	五一○二	四八九八
八四	三九七三	八四七四	六五五二	六八九六	三一○四
八五	○六九六	九五○○	五六五五	八六九○	一三一○
八六	一七六一八	三六六○三七○	四七五八	四九○四八四	五○九五一六
八七	四一四○	一一○八	三八六二	二二七六	七七二四
八八	○八六二	一六七八	二九六六	四○六八	五九三二
八九	○七五八二	二○九八	二○七○	五八六○	四一四○
九○	四三○三	二三七四	一一七四	七六五二	二三四八
九一	一○二四	二四九四	○二七九	九四四二	○五五八
九一三一	○○○○	三六六二五○○	○○○○	五○○○○○	五○○○○○

右曆草所載晝夜刻分，乃大都即燕京晷漏也。夏晝、冬夜極長，六十一刻八十四分，冬晝、夏夜極短，三十八刻一十六分。明既遷都於燕，不知遵用。惟正統己巳奏准頒曆用六十一刻，而羣然非之。景泰初仍復用南京晷刻，終明之世未能改正也。

二至出入差圖圖闕

---